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Finanzmathematik

Zinseszins

Unterjährige Verzinsung liegt vor, wenn der Zuschlag der Zinsen auf das Kapital mehrmals im Jahr erfolgt. Durch unterjährige Verzinsung wächst investiertes Kapital schneller an als bei jährlicher Verzinsung. Diesen Effekt nennt man unterjähriger Zinseszinseffekt. Die Zeitpunkte der Zinsgutschrift sind gleichmäßig über das Jahr verteilt, d. h. die Intervalle zwischen den einzelnen Zinsgutschriften sind gleich groß.

Bei der unterjährigen Verzinsung wird der nominale Jahreszinssatz durch die Anzahl der jährlichen Zinsgutschriften geteilt, um den Zinsertrag für das entsprechende Intervall (Monat, Quartal) zu berechnen.

Rentenrechnung

Unter einer Rente versteht man eine periodische Folge von Zahlungen. Die Zeiteinheit sei ein Jahr. Außerdem sei jährlich derselbe Rentenbetrag r zu bezahlen. Eine Rente heißt nachschüssig, wenn die Zahlungen am Ende der einzelnen Vertragsjahre erfolgen; erfolgen sie am Anfang der Vertragsjahre, spricht man von einer vorschüssigen Rente.

Wenn jemand in jährlichen Abständen n Beträge von r Euro mit Zinseszins angelegt hat, so kann das Kapital errechnet werden, das am Ende des n-ten Jahres zur Verfügung steht. Man nennt es den Endwert der Rente. Bei einer nachschüssigen Rente ist das somit der Wert der Rente unmittelbar nach der letzten Zahlung, bei einer vorschüssigen dagegen der Wert ein Jahr nach der letzten Zahlung.

Mit dem Barwert der Rente errechnet man das Kapital, das bei Vertragsabschluss zur Verfügung stehen muss, damit man aus ihm und seinen Zinsen die einzelnen künftigen Zahlungen von r Euro bestreiten kann.

Endwert und Barwert ersetzen also die Folge der Rentenzahlungen durch eine – unter Berücksichtigung der Zinseszinsen gleichwertige – einmalige Zahlung.

Beide Werte hängen vom Betrag r und der Anzahl n der Rentenzahlungen sowie vom Zinsfuß p > 0 ab.

Zur Ermittlung des vorschüssigen Rentenendwerts ist der nachschüssige Rentenendwert um eine Periode aufzuzinsen.

Zur Ermittlung des vorschüssigen Rentenbarwerts ist der nachschüssige Rentenbarwert um eine Periode aufzuzinsen.

Zu einem wirklichen Kapitalabbau kommt es erst, wenn die jährlich ausgezahlte Rente r größer ist als der jährliche Zinsertrag des Kapitals K0.

Vorschüssig: Zahlung und Verzinsung zum gleichen Zeitpunkt
Nachschüssig: Zahlung am Anfang, Verzinsung am Ende der Periode

Annuität

Annuität bedeutet die Verteilung konstanter Beträge über einen Zeitraum. Dabei wird beispielsweise ein Barwert in gleichbleibende Beträge (Rente) aufgeteilt.

Der Annuitätenfaktor ist der Kehrwert des Rentenbarwertfaktors.

Tilgungsrechnung

Kapitalwertmethode

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Funktionen in Excel für Rentenrechnung

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BW()

gibt den Barwert einer Investition zurück, also den heutigen Gesamtwert einer Reihe zukünftiger Zahlungen.

=BW(Zins; Zzr; Rmz; [Zw]; [F])

Zins: Zinssatz pro Zahlungszeitraum
Zzr: Anzahl der Zahlungszeiträume
Rmz: Ratenzahlung = regelmäßig zu leistende oder zu erhaltende Zahlung.
Zw: Endwert einer Investition
F: Fälligkeit an:
1 = zu Beginn der Periode (vorschüssig)
0 (oder nicht angegeben) = am Ende der Periode fällig (nachschüssig)

Beispiel
Kauf einer Immobilie. Dafür zahle ich in den nächsten 5 Jahren jeweils am Jahresende 10.000,- Euro. Insgesamt also 50.000,- Euro.
Wie hoch wäre die Investitionssumme, die ich heute, bei einem angenommenen Zins von 2%, zahlen müsste?
=BW(0,02; 5; 10000) = 47.135,- €

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RMZ()

Ratenzahlung = regelmäßig zu leistende oder zu erhaltende Zahlung.

=RMZ(Zins; Zzr; Bw; Zw; [F])

Beispiel
Wieviel Geld muss ich monatlich einzahlen, damit ich bei einer angenommenen (unveränderlichen) Verzinsung von 1 % nach 10 Jahren 100.000 Euro angespart habe?
=RMZ(0,01/12; 10*12; 0; 100000) = 792,71 €

Die angenommene Verzinsung von 1% bezieht sich auf den Jahreszins. Da es sich um eine monatliche Zahlung handelt, wird der Zinssatz durch 12 geteilt.
Auch der Zahlungszeitraum 10 Jahre * 12 Monate = 120 Monate ist entsprechend in Monaten anzugeben.
Da kein Anfangskapital vorhanden ist der Barwert gleich 0.

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Zins()

berechnet den Zinssatz einer Investition bei regelmäßigen Auszahlungen.

=Zins(Zzr;Rmz;Bw;[Zw];[F])

Beispiel:
Ein Kredit von 100.000 € wird mit jährlichen Raten von 12.000 € über 10 Jahre abbezahlt. Welchen Zinssatz entspricht dies?
=Zins(10; -12000; 100000) = 3,46%

Die jährliche Abzahlung ist negativ einzutragen.

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ZW()

berechnet den Endwert (Zukunftswert) einer Investition

=ZW(Zins;Zzr;Rmz;[Bw];[F])

Beispiel:
Auf ein Sparkonto mit einem Anfangsbestand von 100.000 € werden jährlich 5.000,- € eingezahlt und mit 2% nachschüssig verzinst. Wie hoch ist der Kontostand nach 10 Jahren?
=ZW(0,02; 10; 5000; 100000) = 176.648,- €

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ZZR()

berechnet die Anzahl der Zahlungszeiträume, die für eine bestimmte Investition erforderlich sind.

=ZZR(Zins; Rmz; [BW]; Zw; [F])

Beispiel:
Für den Kauf einer Immobilie habe ich einen Kredit von 100.000,- Euro aufgenommen. Wie lange dauert es, bis er bei einem Jahreszinssatz von 2,5% vollständig zurückbezahlt ist, wenn ich monatlich 1.000,- Euro abbezahle?
=ZZR(0,025/12; 1000; 0; 100000) = 113 Monate

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Anleihen (Bonds)

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Zerobond (Nullkuponanleihe)

Eine Nullkuponanleihe ist eine Sonderform der Anleihe, bei der keine laufenden Zinsen gezahlt werden. Üblicherweise wird am Ende der Laufzeit der Nennwert der Nullkuponanleihe ausbezahlt. Die Verzinsung über die gesamte Laufzeit wird allein durch den Unterschied zwischen niedrigerem Ausgabekurs (Barwert) und höherem Rückzahlungskurs (=Nennwert) ausgedrückt (Disagio).

Ein Zerobond mit längerer Laufzeit hat bei gleichem Rückzahlungskurs einen günstigeren Ausgabekurs.

Steigt der Marktzinssatz, sinkt der Barwert (Zeitwert) des Zerobonds. Zerobonds sind volatiler als verzinste Anleihen.

Kuponanleihen (Standardanleihen)

Kuponanleihen sind festverzinsliche Wertpapiere. Der Kupon bezeichnet die Nominalverzinsung.

Kreditrisikomanagement

Kreditrisiko ist das Risiko, dass ein Kreditnehmer die vereinbarten Zahlungen an den Kreditgeber nicht leisten kann und dem Kreditgeber dadurch ein Verlust entsteht.

Dimensionen des Kreditrisikos

* Ausfallwahrscheinlichkeit (Probability of Default, PD)
Wie wahrscheinlich ist ein Ausfall?

* Positionswert bei Ausfall (Exposure at Default, ED)
Wie hoch ist die Kredithöhe bei Ausfall?

* Verlustquote bei Ausfall (Loss Given Default, LGD)
Wie viel Prozent der Kreditbetrages gehen bei einem Ausfalls verloren?

* Erwarteter Verlust (Expected Loss, EL)
Wie hoch ist der zu erwartende Verlust?

EL = PD * ED * LGD

Mathematische Grundlagen

Geometrische Reihe

Logarithmus

Als Logarithmus einer (positiven reellen) Zahl x zur Basis b bezeichnet man den Wert des Exponenten, wenn x als Potenz zur Basis b dargestellt wird. Er ist also diejenige Zahl y, welche die Gleichung b^y = x löst. Man schreibt y=logb (x); weitere Notationen siehe Bezeichnungen. Das Logarithmieren, d. h. der Übergang von x zu logb (x), ist damit eine Umkehroperation des Potenzierens. Die Funktion, die zu einer festen Basis b jeder positiven Zahl ihren Logarithmus zuordnet, nennt man Logarithmusfunktion zur Basis b.

Mit Logarithmen lassen sich sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich darstellen, da der Logarithmus für große Zahlen viel langsamer steigt als die Zahlen selbst. Wie die Gleichung
logb (x * y)=logb (x) + logb (y)
zeigt, kann man durch Logarithmieren eine Multiplikation durch die viel weniger rechenintensive Addition ersetzen.

LogB x bedeutet: wie hoch muss ich die Basis nehmen, damit x rauskommt?

In der Finanzmathematik wird der Logarithmus oft benötigt, wenn man eine Gleichung nach der in der Potenz stehenden Laufzeit n eines Kredites, einer Investition … umstellen möchte.

Natürlicher Logarithmus

Die Berechnung eines Logarithmus ist prinzipiell kompliziert. Sie lässt sich „mit Papier und Bleistift“ nur durch die vielfache Wiederholung bestimmter Rechenvorgänge erreichen, wobei das Ergebnis des gerade ausgeführten Schritts als Ausgangsbasis für den nächsten Rechenschritt verwendet wird (Iterative Vorgehensweise bzw. Approximation). Dazu gibt es verschiedene mögliche Vorgehensweisen, von denen einige im Folgenden dargestellt sind. Anfangs ist das Ergebnis dieser Teilschritte jeweils relativ weit entfernt von dem korrekten Ergebnis, wird aber bei jedem weiteren Rechenschritt genauer, es konvergiert zu dem korrekten Ergebnis.

x = ln b <-> ex = b ln (b * c) = ln b + ln c
ln (b / c) = ln b – ln c ln bc = c * ln b
ln e = 1 eln b = b
ln 1 = 0 ex * ln b = bx
loga b = ln b / ln a