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Exponentialfunktionen

Allgemeine Exponentialfunktion

Reelle Funktionen der Form f(x) = a * bx mit a ∈ R*, b ∈ R* \ {1} heißen allgemeine Exponentialfunktionen.

Reine Exponentialfunktionen
Sonderfall: a = 1

Alle Funktionsgraphen haben wegen b0 := 1 den Ordinatenschnittpunkt Sy(0|1).

In Programmiersprachen wird ax oft mit a^x ausgedrückt.

Natürliche Exponentialfunktion

Als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet man die e-Funktion, also die Exponentialfunktion x ↦ ex mit der eulerschen Zahl e = 2,718 281 828 459 … als Basis.

In Programmiersprachen wird ex entweder mit e^x oder exp(x) ausgedrückt.

Beispiel der stetigen Verzinsung zur Herleitung der e-Funktion (Wachstumsfunktion)

Die Funktion f(x) = ex wird auch natürliche Wachstumsfunktion genannt.

Die Funktion f(x) = e-x steht für negatives natürliches Wachstum (Zerfall).

 

Zusammenhang zwischen allgemeiner und natürlicher Exponentialfunktion

 

Ableitung der Exponentialfunktion

k = ln(a)
-> Wachstumskonstante = ln (Wachstumsfaktor)

Den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung nennt man Differentialgleichung.

Die Differentialgleichung beschreibt das Änderungsverhalten eines Bestandes (z. B. die Wachstumsgeschwindigkeit).

 

Beschränktes Wachstum

Wachstum, das durch eine natürliche Schranke (Sättigungsgrenze) genannt) begrenzt ist. Das Wachstum kann sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt sein.

Beispiel: Die Temperatur einer gekühlten (erhitzten) Flüssigkeit passt sich im Laufe der Zeit an die Raumtemperatur an. Die Raumtemperatur stellt dabei die Schranke dar.

Verallgemeinerung der Graphen im obiger Grafik:

f(t) = S - (S - f(t)) * e-kt für das beschränkte Wachstum und
f(t) = S + (f(t) - S) * e-kt für den beschränkten Zerfall.

Das Funktionsverhalten ist streng monoton und asymptotisch.

Modellbeschreibung
Beim klassischen Wachstumsmodell des beschränkten Wachstums ist die Änderungsrate f(t+1) - f(t) bzw. f'(t) proportional zum Sättigungsmanko S − f(t). Das Sättigungsmanko selbst nimmt exponentiell ab. Dieser Rest gibt den Fehlbetrag bis zum Erreichen der Schranke an. Der Bestand ergibt sich wiederum aus der Differenz von Sättigungsgrenze und Sättigungsmanko.

Differentialgleichung des beschränkten Wachstums
f'(t) = k * (S - f(t))

Die Ableitung der Wachstumsfunktion ist die Wachstumsgeschwindigkeit (-rate).

Logistisches Wachstum

Logistisches Wachstum beginnt zunächst exponentiell, geht dann aber in beschränktes Wachstum über bis letztendlich eine Sättigungsgrenze erreicht wird.

Die Wachstumsgeschwindigkeit nimmt zunächst zu (1. Ableitung positiv) und nimmt dann wieder ab (1. Ableitung negativ).
Im Anfangs- und im Sättigungspunkt ist die Wachstumsgeschwindigkeit = 0.

Beispiel

Eine Pflanze mit 5 cm Höhe wächst logistisch heran bis zu einer Endhöhe von 50 cm. Nach 1 Tag erreicht sie eine Höhe von 9 cm.

-> f(0) = 5 cm
-> S = 50 cm

Hyperbolische Funktionen

Der Name hyperbolische Funktionen hat den Ursprung, dass sie zur Parametrisierung der Hyperbel x2 − y2 = 1 verwendet werden können.

Aufgaben zu Wachstum und Zerfall

Aufgabe 1

Ein radioaktiver Stoff zerfällt jährlich um 10%. Wieviel Prozent der Grundmasse ist nach 10 Jahren noch vorhanden?

Es handelt sich hierbei um eine allgemeine Exponentialfunktion. Wenn die Masse um jeweils 10% pro Jahr sinkt, so sind nach 1 Jahr noch jeweils 90% vorhanden -> b = 0,9. x steht für die Zeitspanne -> x = 10

f(x) = a * bx = 100% * 0,910 = 34,87%

Aufgabe 2

Die Schaumkrone eines Glases Bier beträgt zu Anfang 10 cm und sinkt in 3 Minuten um die Hälfte.

a) Wie lautet die diesem Prozess zugehörige Gleichung?

b) Wann wird die Schaumhöhe auf 1 cm abgesunken sein?

Nach ca. 10 Minuten ist die Schaumkrone auf 1 cm zusammengesunken

 

Aufgabe 3

Ein radioaktives Element besteht aus 20000 Atomkernen. Nach 183 Sekunden sind nur noch 2000 Kerne vorhanden. Wie lautet die Halbwertszeit dieses Elementes?

Hier werden 2 Lösungsmöglichkeiten vorgestellt. Zum einen mittels allgemeiner Exponentialfunktion, zum anderen mittels e-Funktion.

Aufgabe 4

Eine Flüssigkeit enthält 2 Stunden nach dem Einschenken 9000 Keime; 1 Stunde später sind 32000 Keime vorhanden.
Wie viele Keime befanden sich zu Anfang in der Flüssigkeit? Es wird exponentielles Wachstum angenommen.

f(3) = f(2) * at

32000 = 9000 * a(3-2) = 9000 * a

a = (32/9)

f(0) = 9000 * (32/9)-2 = 712 Keime

 

Aufgabe 5

Ein Patient erhält täglich zur gleichen Uhrzeit 15 mg eines Medikaments. Bis zur jeweils nächsten Einnahme werden 30% davon wieder ausgeschieden.

a) Welche Menge des Medikaments befindet sich nach der dritten Einnahme im Körper?

Sei x(n) die Menge des Medikaments im Körper vor der (n+1)-ten Einnahme.
-> x(1) = 0
-> x(n+1) = [x(n) + 15] * 0,7
-> x(2) = (0 + 15) * 0,7 = 10,5 mg
-> x(3) = (10,5 + 15) * 0,7 = 17,85 mg

b) Gegen welche Werte strebt m nach bzw. vor der täglichen Einnahme ?

x(n+1) = [x(n) + 15] * 0,7 = 0,7x(n) + 10,5
= x(n)[1 - 0,3] + 10,5 = x(n) - 0,3x(n) + 10,5
= x(n) - 0,3[35 - x(n)]

-> Vor der Einnahme strebt der Medikamentenpegel gegen 35 mg. Nach der Einnahme gegen 35 + 15 = 50 mg
-> Es liegt beschränktes Wachstum vor

 

Aufgabe 6

Das Wachstum der Fläche einer kleinen Mülldeponie wird mit 50 - 40 * 0,92t beschrieben.
a) Um wieviel wächst die Fläche in der 4. Woche?

Größe nach 3 Wochen: 50 - 40 * 0,923 = 18,85 m²
Größe nach 4 Wochen: 50 - 40 * 0,924 = 21,34 m²
-> Die Fläche ist um 21,34 - 18,85 = 2,49 m² gewachsen

b) Die mögliche Gesamtfläche der Deponie beträgt 150 m². Wann sind 20% der Fläche benutzt?

20% der Fläche entsprechen 150 * 0,2 = 30 m²

50 - 40 * 0,92t = 30
-> 20 = 40 * 0,92t
-> 0,5 = 0,92t
-> t = log0,92(0,5) = ln(0,5) / ln (0,92) = 8,31 Wochen

Aufgabe 7

Land A hat heute eine Bevölkerungszahl von 78 Millionen Einwohnern. Jährlich kommen auf 1.000 Einwohner 9 Geburten und 11 Todesfälle, 40.000 Auswanderungen und 180.000 Einwanderungen.

a) Wie hoch wird die Einwohnerzahl in 5 Jahren sein?

Aufgrund von Geburten und Todesfällen sinkt die Bevölkerung jährlich um den Faktor (11-9)/1000 = 0,002 (= 0,2%). Durch Aus- und Einwanderung steigt die Anzahl jährlich um 140.000.

B(t+1) = B(t) + 140000 - 0,002B(t)
mit B(0) = 78000000

B(1) = 77.984.000
B(2) = 77.968.032
B(3) = 77.952.096
B(4) = 77.936.192
B(5) = 77.920.319

b) Mit welcher Einwohnerzahl ist langfristig zu rechnen, wenn die angegebenen Werte auch in Zukunft gültig sind?

B(t+1) = B(t) + 140000 - 0,002B(t)

B(t+1) = B(t) + 0,002[(140000/0,002) - 0,002B(t)]

B(t+1) = B(t) + 0,002[70000000 - 0,002B(t)]

Es liegt beschränktes negatives Wachstum vor. Langfristig ist mit einer Einwohnerzahl von 70.000.000 zu rechnen

 

Aufgabe 8

Es werden Bäume mit einer Höhe von 0,2 m eingepflanzt. Sie erreichen eine Maximalhöhe von 30 m. Die Wachstumsrate beim Einpflanzen beträgt 1 m / Jahr.

f(t) ist die Höhe des Baumes in t Jahren nach der Einpflanzung.

Die Differentialgleichung für beschränktes Wachstum lautet f '(t) = k * (S - f(t))

es gilt: S = 30, f(0) = 0,2

Die Wachstumsrate zu Beginn ist 1 m/Jahr -> f '(0) = 1

Einsetzen von t=0 -> 1 = k * (30 - 0,2) -> k = 1 / 29,8 = 5 / 14

Aus f '(t) = k * (S - f(t)) folgt f(t) = S - (S - f(0))*e-kt

-> f(t) = 30 - 29,8e^(-5t/149)

Aufgabe 9

In eine neue Kläranlage laufen pro Minute 90 Liter verunreinigtes Abwasser ein. Die Kläranlage kann 6% davon pro Minute abbauen. Wie lautet die Wachstumsgleichung?

Gesucht ist f(t) = S - ce-kt
Außerdem gilt: f'(t) = k * (S - f(t))

Die Ableitung f'(t) entspricht der Wachstumsgeschwindigkeit
-> f'(t) = 90 - 0,06*f(t)
-> f'(t) = 0,06 * (1500 - f(t))

Es gilt also:
-> S = 1500
-> k = 0,06 (da 6% vorgegeben)
-> f(0) = 0 (da das Becken zu Beginn sauber ist)
-> c = 1500 (da c = S - f(0))

-> f(t) = 1500 - 1500e-0,06t

Die Schranke liegt bei 1500 Liter Fassungsvermögen. Davon können 6% abgebaut werden = 90 Liter. Dies ist gleich dem konstanten Zufluss in Höhe von 90 Liter pro Minute.

Aufgaben zu Ableitung der e-Funktion

Grundlagen